14. La Ecuacion de Schrodinger

En la entrada anterior hablamos acerca de Heisenberg y su mecánica matricial, la cual si bien daba resultados que coincidían con las observaciones experimentales, su complejidad matemática y su complejo de su interpretación, hacia que la mayoría de los físicos de los años 20 del siglo pasado, no terminaran por convencerse del todo con la teoría del físico alemán.

Sin embargo para 1925 un físico de origen austriaco se dio cuenta de la dificultad en la interpretación de la mecánica matricial de Heisenberg y quiso dar un enfoque diferente para explicar esto nuevos fenomenos cuánticos.

Erwin Schrodinger partió de la idea del Barón Luis de Broglie, quien afirmaba que asi como la energía podía tener comportamiento de particulas, la materia podría tener un comportamiento ondulatorio (ver entradas 11 y 12 de este blog).
Un año de encierro absoluto sería suficiente para que en 1926, Erwin Schrodinger diera a conocer su mecánica ondulatoria para la explicación de los efectos cuánticos.

¿En qué consistía su teoría? Erwin partió de la premisa de Barón Francés, y empezó con sus ecuaciones, las cuales relacionaban la energia (E) de una particula con una frecuencia de oscilación (f) y la cantidad de movimiento (P) de una particula con una longitud de onda (L):

E=hf

P=h/L

De a partir de ahi, llega una ecuación de energia de un estado, la cual, en terminos simplistas dice: Eneriga Cinetica + Energia Potencial = Energia Total.

Antes de pasar a explicar la ecuación de Schrodinger, quiero detenerme un rato a reflexionar acerca de esta ecuación. ¿Se han dado cuenta que la ecuación es Compleja (tiene parte real y parte imaginaria) y no una ecuación real como usualmente estamos acostumbrados a tratar hasta este momento? ¿Desconcertante verdad? Esta ecuación también desconcertaría al mismo Schrodinger, quien intentó en vano obtener una ecuación real que describiera los resultados de los experimentos de la mecánica cuántica. Sin embargo cuando intentaba que su ecuación sea real, ésta sólo predecía algunos de los fenómenos físicos; pero en otros, los resultados contradecían a los experimentos. La única forma en que su ecuación describa fielmente los resultados de los experimentos físicos, es que ésta sea una ecuación compleja. Esto implicaba a su vez que las ecuaciones de ondas de la materia sean complejas. ¿Por que algunas las Ecuación de Ondas de Materia deberían ser compleja? ¿Porque las ecuaciones de explican las materia del nuestro universo tenían que tener parte real y parte imaginaria? ¿Es que somos parte real y parte imaginarios? Dejaré hasta aquí la parte filosófica del tema, a pesar que una conversación metafísica de este tema tenga para rato...

Expliquemos la ecuación. Habíamos dicho que para Schrodinger, una partícula localizada en un punto es en realidad un conjunto de ondas superpuestas que oscilan. Por lo tanto la materia está representada por una suma de ondas imaginarias que oscilan en el espacio y en el tiempo (véase mi entrada de Ondas de Materia). Este paquete de ondas está representado matemáticamente por una ecuación de onda.

El objetivo de la ecuación de Schrodinger es hallar la ecuación de onda de la materia, partiendo de la ecuación de la conservación de la energía: Energía Cinética + Energía Potencial = Energía Total. Sin embargo la ecuación de energía de Schrodinger no tiene la forma que nos han enseñado en el colegio, ¿Porqué? porque estamos partiendo de la naturaleza ondulatoria de la materia. Recordemos! Esto es física cuántica, no física clásica. El resultado de la ecuación de Schrodinger no es un número sino una función: La función de la Ecuación de Onda.

Ec. Schrodinger --> Resultado --> Ecuación de Onda : Ψ

La Ecuación de Onda (en algunos textos llamado Función de Onda) no nos dice nada en si. Si bien es cierto la ecuación de onda no tiene ningún significado físico, si lo tiene el valor absoluto o módulo de la ecuación de onda. Recordemos que el cuadrado del modulo de un numero complejo a + bi es un número real:

( a + bi ) ( a – bi ) = a² + b²

Para una Ecuación de Onda, (que también tiene parte imaginaria y parte real), el cuadrado de su Modulo indica la probabilidad de encontrar una partícula en una determinada posición en el espacio.

|Ψ| --> Función de Probabilidad de la posición de la Partícula

Recordemos que en Física Cuántica, no tenemos un resultado numérico como posición, velocidad, cantidad de movimiento, etc... sino mas bien, tenemos la probabilidad de encontrar una partícula en una determinada posición, velocidad, etc... Entonces, no podemos tener con certeza las características del objeto de estudio, pero si se puede tener el valor esperado, que es la posición mas probable, o la velocidad mas probable, o la cantidad de movimiento mas probable, etc... Pero ¿Cómo se obtiene esta información de la ecuación de onda? Pues se debe operar la ecuación de onda para encontrar el valor esperado de cada una de las variables.


Si "Ψ" es la Función de Onda de la materia, tenemos que realizar unas operaciones matemáticas (o que en física llamamos, aplicarles operadores) para hallar el valor esperado de las siguientes variables:

1) Posición esperada
2) Cantidad de Movimiento esperado
3) Velocidad esperada
4) Aceleración esperada, etc...

Sólo hay un pequeño detalle. Cuando nosotros operamos la función de onda Ψ para hallar la estas variables esperadas, la función de onda colapasa, y no se puede utilizar para realizar otra operación.

Esto ocurre físicamente en la realidad del mundo cuantico. Si yo deseo conocer la posición de un electrón en un sistema determinado por una ecuación de onda Ψ, al realizar la medición, obtengo la información de la posición del electrón, pero me es imposible realizar otra medida sobre este sistema, pues la información colapsó.

Este es uno de los principios más controvertidos de la física cuántica pues al realizar una medida filtrante de un sistema, (una medición experimental), luego el estado del sistema cambia y Ψ ya no representa más al sistema en cuestión.

Resumiendo

Se tiene un fenómeno físico del dimensiones atómicas o sub-atómicas que se quiere describir. Para ello se sigue los siguientes paso:

1. Se plantea la ecuación de Schrodinger: Energía Potencial +  Energía Cinética = Energía total.
2. Se resuelve la ecuación de Schrodinger y el resultado es otra ecuación, que es la Ecuación de Onda de la Materia: Ψ. Esta ecuación puede tener parte real y parte imaginaria. 
3. Se opera la Ecuación de onda y se obtiene los valores esperados de: posición, cantidad de movimiento, etc...

Espero que tras leer este post me envíen sus sugerencias o comentarios.

Gracias y los espero para la siguiente entrada!